MAT - Progressões Aritméticas

Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PA

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, …, an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula: