MAT- Produtos Notáveis

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.


QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)

_______________= a² + ab+ ab + b²

_______________= a² + 2ab + b²



Conclusão:

(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)

b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)

c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)

d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)

e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)

f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)

g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)

h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)

i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)

j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)

l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)

m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)

n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)

o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)

p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)

q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)

r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]

s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]

t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]

u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)

v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)

x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]


QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)

______________= a² - ab- ab + b²

______________= a² - 2ab + b²



Conclusão:

(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)

b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)

c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)

d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)

e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)

f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)

g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)

h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)

i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)

j) (x² - 1)² =

l) (9x² - 1)² =

m) (x³ - 2)² =

n) (2m⁵ - 3)² =

o) (x – 5y³)² =

p) (1 - mx)² =

q) (2 - x⁵)² =

r) (-3x – 5)² =

s) (x³ - m³)² =


PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

Conclusão:

(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25

2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)

b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49)

c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)

d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)

e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )

f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)

g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )

h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )

i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )

j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)

l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =

m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =

n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =

o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =

p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =

q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =